Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109647  (#97.5.10.3)

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Композиции поворотов ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена прямая, вторично пересекающая первую окружность в точке C, а вторую – в точке D. Пусть M и N – середины дуг BC и BD, не содержащих точку A, а K – середина отрезка CD. Докажите, что угол MKN прямой. (Можно считать, что точки C и D лежат по разные стороны от точки A.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109648  (#97.5.10.4)

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Перестройки ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Произвольные многоугольники ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 5- Классы: 10

Многоугольник можно разбить на 100 прямоугольников, но нельзя – на 99. Докажите, что его нельзя разбить на 100 треугольников.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109649  (#97.5.10.5)

Темы:   [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Уравнения в целых числах ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Четность и нечетность ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Существуют ли два квадратных трёхчлена  ax² + bx + c  и  (a + 1)x² + (b + 1)x + (c + 1)  с целыми коэффициентами, каждый из которых имеет по два целых корня?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108174  (#97.5.10.6)

Темы:   [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AC, AB и BC в точках K, M и N соответственно. Медиана BB₁ треугольника пересекает MN в точке D. Докажите, что точка O лежит на прямой DK.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109651  (#97.5.10.7)

Тема:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Найдите все такие тройки натуральных чисел m, n и l, что  m + n = (НОД(m, n))²,  m + l = (НОД(m, l))²,  n + l = (НОД(n, l))².

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями