Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 55]

Задача 108208 (#03.4.11.2)

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9

Автор: Берлов С.Л.

На диагонали AC выпуклого четырёхугольника ABCD выбрана точка K, для которой KD = DC, ∠BAC = ½ KDC, ∠DAC = ½ ∠KBC.
Докажите, что ∠KDA = ∠BCA или ∠KDA = ∠KBA.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110122 (#03.4.11.3)

Темы:	[	Монотонность, ограниченность	]
Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Голованов А.С.

Функции f(x) – x и f(x²) – x⁶ определены при всех положительных x и возрастают.
Докажите, что функция также возрастает при всех положительных x.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110807 (#03.4.11.4)

Темы:	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Скалярное произведение. Соотношения	]
	[	Метод усреднения	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

На плоскости даны точки A₁ , A₂ , A_n и точки B₁ , B₂ , B_n . Докажите, что точки B_i можно перенумеровать так, что для всех i j угол между векторами и – острый или прямой.

Прислать комментарий Решение

Задача 110123 (#03.4.11.5)

Темы:	[	Свойства коэффициентов многочлена	]
Темы:	[	Многочлен нечетной степени имеет действительный корень	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Рубанов И.С.

Квадратные трёхчлены P(x) = x² + ax + b и Q(x) = x² + cx + d таковы, что уравнение P(Q(x)) = Q(P(x)) не имеет действительных корней.
Докажите, что b ≠ d .

Прислать комментарий

Решение

Задача 110136 (#03.4.11.6)

Темы:	[	Принцип крайнего (прочее)	]
Темы:	[	Степень вершины	]

Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10

Автор: Берлов С.Л.

На вечеринку пришли 100 человек. Затем те, у кого не было знакомых среди пришедших, ушли. Затем те, у кого был ровно один знакомый среди оставшихся, тоже ушли. Затем аналогично поступали те, у кого было ровно 2, 3, 4, ..., 99 знакомых среди оставшихся к моменту их ухода.
Какое наибольшее число людей могло остаться в конце?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 55]