ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 54]      



Задача 110201  (#06.4.11.2)

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Произведение квадратных трёхчленов  x² + a1x + b1x² + a2x + b2,  ...,  x² + anx + bn  равно многочлену  P(x) = x2n + c1x2n–1 + c2x2n–2 + ... + c2n–1x + c2n,  где коэффициенты  c1, c2, ..., c2n  положительны. Докажите, что для некоторого k  (1 ≤ k ≤ n)  коэффициенты ak и bk положительны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110202  (#06.4.11.3)

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ]
[ Перебор случаев ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

В гоночном турнире 12 этапов и n участников. После каждого этапа все участники в зависимости от занятого места k получают баллы ak (числа ak натуральны, и  a1 > a2 > ... > an).  При каком наименьшем n устроитель турнира может выбрать числа a1, ..., an так, что после предпоследнего этапа при любом возможном распределении мест хотя бы двое участников имели шансы занять первое место.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110203  (#06.4.11.4)

Темы:   [ Биссектриса делит дугу пополам ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9

Биссектрисы углов A и C треугольника ABC пересекают его стороны в точках A1 и C1, а описанную окружность этого треугольника – в точках A0 и C0 соответственно. Прямые A1C1 и A0C0 пересекаются в точке P. Докажите, что отрезок, соединяющий P с центром вписанной окружности треугольника ABC, параллелен AC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110210  (#06.4.11.5)

Темы:   [ Тригонометрические неравенства ]
[ Периодичность и непериодичность ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Докажите, что для каждого x такого, что sin x 0 , найдется такое натуральное n , что | sin nx| .
Прислать комментарий     Решение


Задача 110204  (#06.4.11.6)

Темы:   [ Биссекторная плоскость ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Симметрия относительно плоскости ]
[ Параллельность прямых и плоскостей ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

В тетраэдре ABCD из вершины A опустили перпендикуляры AB' , AC' , AD' на плоскости, делящие двугранные углы при ребрах CD , BD , BC пополам. Докажите, что плоскость (B'C'D') параллельна плоскости (BCD) .
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 54]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .