Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]

Задача 108147 (#00.5.10.3)

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Берлов С.Л.

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC биссектриса угла между высотами AA₁ и CC₁ пересекает стороны AB и BC в точках P и Q соответственно. Биссектриса угла B пересекает отрезок, соединяющий ортоцентр H треугольника ABC с серединой M стороны AC в точке R. Докажите, что точки P, B, Q и R лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109718 (#00.5.10.4)

Темы:	[	Взвешивания	]
	[	Сочетания и размещения	]
	[	Перестановки и подстановки (прочее)	]
	[	Математическая логика (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Подлипский О.К.

Имеются пять внешне одинаковых гирь с попарно различными массами. Разрешается выбрать любые три из них A, B и C и спросить, верно ли, что
m(A) < m(B) < m(C) (через m(x) обозначена масса гири x). При этом даётся ответ "Да" или "Нет". Можно ли за девять вопросов гарантированно узнать, в каком порядке идут веса гирь?

Прислать комментарий

Решение

Задача 35558 (#00.5.10.5)

Темы:	[	Комбинаторика (прочее)	]
	[	Принцип крайнего	]
	[	Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Автор: Черепанов Е.

Пусть M – конечное множество чисел. Известно, что среди любых трёх его элементов найдутся два, сумма которых принадлежит M.
Какое наибольшее число элементов может быть в M?

Прислать комментарий

Решение

Задача 109720 (#00.5.10.6)

Темы:	[	Количество и сумма делителей числа	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10

Автор: Храбров А.

Совершенное число, большее 6, делится на 3. Докажите, что оно делится на 9.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108148 (#00.5.10.7)

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]

Сложность: 6-
Классы: 9,10,11

Автор: Емельянов Л.А.

Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в точке N . Хорды BA и BC внешней окружности касаются внутренней в точках K и M соответственно. Пусть Q и P – середины дуг AB и BC , не содержащих точку N . Окружности, описанные около треугольников BQK и BPM , пересекаются в точке B1 . Докажите, что BPB1Q – параллелограмм.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]