Страница:
<< 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]
Задача
109734
(#01.5.11.5)
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
Приведенные квадратные трёхчлены f(x) и g(x) принимают отрицательные значения на непересекающихся интервалах.
Докажите, что найдутся такие положительные числа α и β, что для любого
действительного x будет выполняться неравенство αf(x) + βg(x) > 0.
Задача
109735
(#01.5.11.6)
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
a и b – такие различные натуральные числа, что
ab(a + b) делится на a² + ab + b². Докажите, что |a – b| > 
.
Задача
109736
(#01.5.11.7)
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
В стране 2001 город, некоторые пары городов соединены дорогами, причём из
каждого города выходит хотя бы одна дорога и нет города, соединённого дорогами со всеми остальными. Назовём множество городов D доминирующим, если каждый не входящий в D город соединён дорогой с одним из городов множества D. Известно, что в каждом доминирующем множестве хотя бы k городов. Докажите, что страну можно разбить на 2001 – k республик так, что никакие два города из одной республики не будут соединены дорогой.
Задача
109737
(#01.5.11.8)
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Сфера с центром в плоскости основания
ABC тетраэдра
SABC проходит
через вершины
A ,
B и
C и вторично пересекает ребра
SA ,
SB и
SC
в точках
A1
,
B1
и
C1
соответственно. Плоскости, касающиеся
сферы в точках
A1
,
B1
и
C1
, пересекаются в точке
O .
Докажите, что
O – центр сферы, описанной около тетраэдра
SA1
B1
C1
.
Страница:
<< 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]
Фильтр
