ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



Задача 108224  (#05.5.9.1)

Темы:   [ Диаметр, основные свойства ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]
[ Параллелограммы (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Дан параллелограмм ABCD  (AB < BC).  Докажите, что описанные окружности треугольников APQ для всевозможных точек P и Q, выбранных на сторонах BC и CD соответственно так, что  CP = CQ,  имеют общую точку, отличную от A.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109831  (#05.5.9.2)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Леша поставил в клетки таблицы 22×22 натуральные числа от 1 до 22².
Верно ли, что Олег может выбрать такие две клетки, соседние по стороне или вершине, что сумма чисел, стоящих в этих клетках, делится на 4?

Прислать комментарий     Решение

Задача 109832  (#05.5.9.3)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Тождественные преобразования ]
[ Неравенства. Метод интервалов ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Сумма чисел a1, a2, a3, каждое из которых больше единицы, равна S, причём     для любого  i = 1, 2, 3.
Докажите, что  

Прислать комментарий     Решение

Задача 109833  (#05.5.9.4)

Темы:   [ Перестановки и подстановки (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Процессы и операции ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Автор: Гарбер М.

На столе лежат 365 карточек, на обратной стороне которых написаны различные числа. За один рубль Вася может выбрать три карточки и попросить Петю положить их слева направо так, чтобы числа на карточках располагались в порядке возрастания. Может ли Вася, потратив 2000 рублей, с гарантией выложить все 365 карточек на стол слева направо так, чтобы числа на них располагались в порядке возрастания?

Прислать комментарий     Решение

Задача 109834  (#05.5.9.5)

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Теория графов (прочее) ]
[ Вспомогательная раскраска (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Десять попарно различных ненулевых чисел таковы, что для каждых двух из них либо сумма этих чисел, либо их произведение – рациональное число.
Докажите, что квадраты всех чисел рациональны.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .