ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



Задача 109707  (#00.5.11.1)

Тема:   [ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Найдите все функции f : , которые для всех x,y,z удовлетворяют неравенству f(x+y)+f(y+z)+f(z+x) 3f(x+2y+3z).
Прислать комментарий     Решение


Задача 109708  (#00.5.11.2)

Темы:   [ Деление с остатком ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Уравнения в целых числах ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Докажите, что можно разбить все множество натуральных чисел на 100 непустых подмножеств так, чтобы в любой тройке a, b, c, для которой  a + 99b = c,  нашлись два числа из одного подмножества.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109709  (#00.5.11.3)

Темы:   [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ]
[ Наименьшая или наибольшая площадь (объем) ]
[ Пятиугольники ]
[ Теорема Пика ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

На координатной плоскости дан выпуклый пятиугольник ABCDE с вершинами в целых точках. Докажите, что внутри или на границе пятиугольника A1B1C1D1E1 (см. рис.) есть хотя бы одна целая точка.


Прислать комментарий     Решение

Задача 109710  (#00.5.11.4)

Темы:   [ Геометрические интерпретации в алгебре ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Индукция в геометрии ]
[ Системы отрезков, прямых и окружностей ]
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Дана последовательность неотрицательных чисел a1 , a2 , an . Для любого k от 1 до n обозначим через mk величину

l=1,2,..,k .

Докажите, что при любом α>0 число тех k , для которых mk, меньше, чем a1+a2+...+an α.
Прислать комментарий     Решение

Задача 109711  (#00.5.11.5)

Темы:   [ Тригонометрические неравенства ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Храбров А.

Докажите неравенство   sinn2x + (sinnx – cosnx)² ≤ 1.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .