ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



Задача 109871  (#95.4.9.1)

Тема:   [ Неравенство Коши ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Докажите, что для любых положительных чисел x и y справедливо неравенство  

Прислать комментарий     Решение

Задача 109872  (#95.4.9.2)

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Четность и нечетность ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Можно ли расставить по кругу 1995 различных натуральных чисел так, чтобы для каждых двух соседних чисел отношение большего из них к меньшему было простым числом?

Прислать комментарий     Решение

Задача 108189  (#95.4.9.3)

Темы:   [ Теорема синусов ]
[ Пересекающиеся окружности ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Сонкин М.

Две окружности радиусов R и r касаются прямой l в точках A и B и пересекаются в точках C и D . Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника ABC не зависит от длины отрезка AB .
Прислать комментарий     Решение


Задача 109874  (#95.4.9.4)

Темы:   [ Раскраски ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Правильные многоугольники ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Все стороны и диагонали правильного 12-угольника раскрашиваются в 12 цветов (каждый отрезок – одним цветом).
Существует ли такая раскраска, что для любых трёх цветов найдутся три вершины, попарно соединенные между собой отрезками этих цветов?

Прислать комментарий     Решение

Задача 109875  (#95.4.9.5)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Количество и сумма делителей числа ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Найдите все такие простые числа p, что число  p² + 11  имеет ровно шесть различных делителей (включая единицу и само число).

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .