ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



Задача 110009  (#99.4.9.1)

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Перебор случаев ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

По кругу выписаны в некотором порядке все натуральные числа от 1 до N , N2 . При этом для любой пары соседних чисел имеется хотя бы одна цифра, встречающаяся в десятичной записи каждого из них. Найдите наименьшее возможное значение N .
Прислать комментарий     Решение


Задача 108240  (#99.4.9.2)

Темы:   [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

В треугольнике ABC на стороне AC нашлись такие точки D и E , что AB=AD и BE=EC ( E между A и D ). Точка F – середина дуги BC (не содержащей точки A ) окружности, описанной около треугольника ABC . Докажите, что точки B , E , D и F лежат на одной окружности.
Прислать комментарий     Решение


Задача 110011  (#99.4.9.3)

Темы:   [ Неравенства. Метод интервалов ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Произведение положительных чисел x, y и z равно 1.
Докажите, что если  1/x + 1/y + 1/z ≥ x + y + z,  то для любого натурального k выполнено неравенство  x–k + y–k + z–k ≥ xk + yk + zk.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110012  (#99.4.9.4)

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Антонов М.

Лабиринт представляет собой квадрат 8×8, в каждой клетке 1×1 которого нарисована одна из четырёх стрелок (вверх, вниз, вправо, влево). Верхняя сторона правой верхней клетки – выход из лабиринта. В левой нижней клетке находится фишка, которая каждым своим ходом перемещается на одну клетку в направлении, указанном стрелкой. После каждого хода стрелка в клетке, в которой только что была фишка, поворачивается на 90° по часовой стрелке. Если фишка должна сделать ход, выводящий ее за пределы квадрата 8×8, она остается на месте, а стрелка также поворачивается на 90° по часовой стрелке. Докажите, что рано или поздно фишка выйдет из лабиринта.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110013  (#99.4.9.5)

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Раскраски ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Все клетки клетчатой плоскости окрашены в 5 цветов так, что в любой фигуре вида



все цвета различны. Докажите, что и в любой фигуре вида


все цвета различны.
Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .