ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      



Задача 108123  (#03.4.9.3)

Темы:   [ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

В равнобедренном треугольнике ABC  (AB = BC)  средняя линия, параллельная стороне BC, пересекается со вписанной окружностью в точке F, не лежащей на основании AC. Докажите, что касательная к окружности в точке F пересекается с биссектрисой угла C на стороне AB.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110134  (#03.4.9.4)

Темы:   [ Признаки делимости на 11 ]
[ Выигрышные и проигрышные позиции ]
[ Деление с остатком ]
[ Периодичность и непериодичность ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Два игрока по очереди выписывают на доске в ряд слева направо произвольные цифры. Проигрывает игрок, после хода которого одна или несколько цифр, записанных подряд, образуют число, кратное 11. Кто из игроков победит при правильной игре?

Прислать комментарий     Решение

Задача 108124  (#03.4.9.5)

Темы:   [ Углы между биссектрисами ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9

Автор: Храмцов Д.

Пусть I – точка пересечения биссектрис треугольника ABC . Обозначим через A' , B' , C' точки, симметричные точке I относительно сторон треугольника ABC . Докажите, что если окружность, описанная около треугольника A'B'C' , проходит через вершину B , то ABC = 60o .
Прислать комментарий     Решение


Задача 110136  (#03.4.9.6)

Темы:   [ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Степень вершины ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10

На вечеринку пришли 100 человек. Затем те, у кого не было знакомых среди пришедших, ушли. Затем те, у кого был ровно один знакомый среди оставшихся, тоже ушли. Затем аналогично поступали те, у кого было ровно 2, 3, 4, ..., 99 знакомых среди оставшихся к моменту их ухода.
Какое наибольшее число людей могло остаться в конце?

Прислать комментарий     Решение

Задача 110137  (#03.4.9.7)

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Десятичная система счисления ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Храмцов Д.

Докажите, что из любых шести четырёхзначных чисел, взаимно простых в совокупности, всегда можно выбрать пять чисел, также взаимно простых в совокупности.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .