ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



Задача 110219  (#06.4.9.1)

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Простые числа и их свойства ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Найдите какое-нибудь такое девятизначное число N, состоящее из различных цифр, что среди всех чисел, получающихся из N вычеркиванием семи цифр, было бы не более одного простого.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110214  (#06.4.9.2)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

В каждую клетку бесконечной клетчатой плоскости записано одно из чисел 1, 2, 3, 4 так, что каждое число встречается хотя бы один раз. Назовём клетку правильной, если количество различных чисел, записанных в четыре соседние (по стороне) с ней клетки, равно числу, записанному в эту клетку. Могут ли все клетки плоскости оказаться правильными?

Прислать комментарий     Решение

Задача 110215  (#06.4.9.3)

Темы:   [ Неравенство Коши ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Храбров А.

Известно, что     и  x1 + x2 + ... + x6 = 0.  Докажите, что x1x2...x6 ≤ ½.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110216  (#06.4.9.4)

Темы:   [ Биссектриса делит дугу пополам ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Биссектрисы углов A и C треугольника ABC пересекают описанную окружность этого треугольника в точках A0 и C0 соответственно. Прямая, проходящая через центр вписанной окружности треугольника ABC параллельно стороне AC , пересекается с прямой A0C0 в точке P . Докажите, что прямая PB касается описанной окружности треугольника ABC .
Прислать комментарий     Решение


Задача 110223  (#06.4.9.5)

Темы:   [ Четность и нечетность ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

На доске записано произведение a1a2... a100, где a1, ..., a100 – натуральные числа. Рассмотрим 99 выражений, каждое из которых получается заменой одного из знаков умножения на знак сложения. Известно, что значения ровно 32 из этих выражений чётные. Какое наибольшее количество чётных чисел среди a1, a2, ..., a100 могло быть?

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .