ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      



Задача 111042

Темы:   [ Описанные четырехугольники ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Теорема синусов ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Дан описанный четырёхугольник ABCD, P, Q и R – основания перпендикуляров, опущенных из вершины D на прямые BC, CA, AB соответственно. Докажите, что биссектрисы углов ABC, ADC и диагональ AC пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда  |PQ| = |QR|.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110770

Темы:   [ Углы между биссектрисами ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Точка I – центр вписанной окружности треугольника ABC. Внутри треугольника выбрана точка P такая, что

ÐPBA + ÐPCA = ÐPBC + ÐPCB.

Докажите, что APAI, причём равенство выполняется тогда и только тогда, когда P совпадает с I.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110773

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Разложение на множители ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Найдите все такие пары  (x, y)  целых чисел, что  1 + 2x + 22x+1 = y2.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110774

Темы:   [ Итерации ]
[ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]
[ Теорема Безу. Разложение на множители ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Пусть P(x) – многочлен степени  n > 1  с целыми коэффициентами, k – произвольное натуральное число. Рассмотрим многочлен
Qk(x) = P(P(...P(P(x))...))  (P применён k раз). Докажите, что существует не более n целых чисел t, при которых  Qk(t) = t.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110776

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

a и b – натуральные числа. Покажите, что если  4ab – 1  делит  (4a² – 1)²,  то  a = b.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .