ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 45]      



Задача 64612

Темы:   [ Теория игр (прочее) ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

На числовой прямой в точке P сидит точечный кузнечик. Точки 0 и 1 – ловушки. На каждом ходу мы называем любое положительное число, после чего кузнечик прыгает влево или вправо (по своему выбору) на расстояние, равное этому числу. Для каких P можно называть числа так, чтобы гарантированно загнать кузнечика в одну из ловушек? (Мы всё время видим, где сидит кузнечик.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 64613

Темы:   [ Многочлены (прочее) ]
[ Производная (прочее) ]
[ Средние величины ]
[ Теорема Виета ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Многочлен степени  n > 1  имеет n разных корней х1, х2, ..., хn. Его производная имеет корни y1, y2, ..., yn–1.
Докажите неравенство  

Прислать комментарий     Решение

Задача 64584

Темы:   [ Классические неравенства (прочее) ]
[ Линейная и полилинейная алгебра ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Дан набор из нескольких гирек, на каждой написана масса. Известно, что набор масс и набор надписей одинаковы, но возможно некоторые надписи перепутаны. Весы представляют из себя горизонтальный отрезок, закрепленный за середину. При взвешивании гирьки прикрепляются в произвольные точки отрезка, после чего весы остаются в равновесии либо отклоняются в ту или иную сторону. Всегда ли удастся за одно взвешивание проверить, все надписи верны или нет? (Весы будут в равновесии, если сумма моментов гирь справа от середины равна сумме моментов гирь слева; иначе отклонятся в сторону, где сумма больше. Моментом гири называется произведение ms массы гири m на расстояние s он нее до середины отрезка.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 64585

Темы:   [ Кооперативные алгоритмы ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Правило произведения ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Грибок С.

Фокуснику завязывают глаза, а зритель выкладывает в ряд N одинаковых монет, сам выбирая, какие – орлом вверх, а какие – решкой. Ассистент фокусника просит зрителя написать на листе бумаги любое целое число от 1 до N и показать его всем присутствующим. Увидев число, ассистент указывает зрителю на одну из монет ряда и просит перевернуть её. Затем фокуснику развязывают глаза, он смотрит на ряд монет и безошибочно определяет написанное зрителем число.
  a) Докажите, что если у фокусника с ассистентом есть способ, позволяющий фокуснику гарантированно отгадывать число для  N = k,  то есть способ и для  N = 2k.
  б) Найдите все значения N, для которых у фокусника с ассистентом есть такой способ.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64591

Темы:   [ Кооперативные алгоритмы ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Правило произведения ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Грибок С.

Фокуснику завязывают глаза, а зритель выкладывает в ряд N одинаковых монет, сам выбирая, какие – орлом вверх, а какие – решкой. Ассистент фокусника просит зрителя написать на листе бумаги любое целое число от 1 до N и показать его всем присутствующим. Увидев число, ассистент указывает зрителю на одну из монет ряда и просит перевернуть её. Затем фокуснику развязывают глаза, он смотрит на ряд монет и безошибочно определяет написанное зрителем число.
  a) Докажите, что если у фокусника с ассистентом есть способы, позволяющие фокуснику гарантированно отгадывать число для  N = a  и для  N = b,  то есть способ и для  N = ab.
  б) Найдите все значения N, для которых у фокусника с ассистентом есть такой способ.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 45]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .