ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 44]      



Задача 64516

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Четность и нечетность ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Для каждого натурального числа n обозначим через O(n) его наибольший нечётный делитель. Даны произвольные натуральные числа
х1 = а  и  х2 = b.  Построим бесконечную последовательность натуральных чисел по правилу:  xn = O(хn–1 + хn–2),  где  n = 3, 4, ... .
  а) Докажите, что, начиная с некоторого места, все числа в последовательности будут равны одному и тому же числу.
  б) Как найти это число, зная числа a и b?
Прислать комментарий     Решение


Задача 64518

Темы:   [ Тетраэдр (прочее) ]
[ Прямые и плоскости в пространстве (прочее) ]
[ Центр масс ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Внутри некоторого тетраэдра взяли произвольную точку X. Через каждую вершину тетраэдра провели прямую, параллельную отрезку, соединяющему X с точкой пересечения медиан противоположной грани. Докажите, что четыре полученные прямые пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64520

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Произвольные многоугольники ]
[ Перенос помогает решить задачу ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

а) Докажите, что найдётся многоугольник, который можно разделить отрезком на две равные части так, что этот отрезок разделит одну из сторон многоугольника пополам, а другую – в отношении  1 : 2.

б) Найдётся ли выпуклый многоугольник с таким свойством?

Прислать комментарий     Решение

Задача 64526

Темы:   [ Разрезания на параллелограммы ]
[ Системы точек и отрезков (прочее) ]
[ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Прямоугольник разбили на несколько меньших прямоугольников. Могло ли оказаться, что для каждой пары полученных прямоугольников отрезок, соединяющий их центры, пересекает еще какой-нибудь прямоугольник?

Прислать комментарий     Решение

Задача 111652

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Раскраски ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

На клетчатом листе бумаги нарисованы несколько прямоугольников, их стороны идут по сторонам клеток. Каждый прямоугольник состоит из нечётного числа клеток, и никакие два прямоугольника не содержат общих клеток. Докажите, что эти прямоугольники можно раскрасить в четыре цвета так, чтобы у прямоугольников одного цвета не было общих точек границы.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 44]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .