ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 44]      



Задача 111908

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Индукция в геометрии ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

В каждой клетке квадрата 101×101, кроме центральной, стоит один из двух знаков: "поворот" или "прямо". Машинка въезжает извне в произвольную клетку на границе квадрата, после чего ездит параллельно сторонам клеток, придерживаясь двух правил:
  1) в клетке со знаком "прямо" она продолжает путь в том же направлении;
  2) в клетке со знаком "поворот" она поворачивает на 90° (в любую сторону по своему выбору).
Центральную клетку квадрата занимает дом. Можно ли расставить знаки так, чтобы у машинки не было возможности врезаться в дом?

Прислать комментарий     Решение

Задача 111918

Темы:   [ Арифметическая прогрессия ]
[ Геометрическая прогрессия ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10

Дана такая возрастающая бесконечная последовательность натуральных чисел a1, ..., an, ..., что каждый её член является либо средним арифметическим, либо средним геометрическим двух соседних. Обязательно ли с некоторого момента эта последовательность становится либо арифметической, либо геометрической прогрессией?
Прислать комментарий     Решение


Задача 64523

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Замок обнесён круговой стеной с девятью башнями, на которых дежурят рыцари. По истечении каждого часа все они переходят на соседние башни, причём каждый рыцарь движется либо все время по часовой стрелке, либо против. За ночь каждый рыцарь успевает подежурить на каждой башне. Известно, что был час, когда на каждой башне дежурили хотя бы два рыцаря, и был час, когда ровно на пяти башнях дежурили ровно по одному рыцарю. Докажите, что был час, когда на одной из башен вообще не было рыцарей.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64528

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
[ Четность и нечетность ]
[ Процессы и операции ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

На каждой клетке доски 10×10 стоит фишка. Разрешается выбрать диагональ, на которой стоит чётное число фишек, и снять с неё любую фишку.
Какое наибольшее число фишек можно убрать с доски такими операциями?

Прислать комментарий     Решение

Задача 64529

Темы:   [ Параллелепипеды (прочее) ]
[ Вписанные многогранники ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Трапеции (прочее) ]
[ Сфера, описанная около тетраэдра ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Три плоскости разрезают параллелепипед на 8 шестигранников, все грани которых – четырёхугольники (каждая плоскость пересекает свои две пары противоположных граней параллелепипеда и не пересекает две оставшиеся грани). Известно, что вокруг одного из этих шестигранников можно описать сферу. Докажите, что и вокруг каждого из них можно описать сферу.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 44]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .