ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 44]      



Задача 111691

Темы:   [ Теория игр (прочее) ]
[ Четность и нечетность ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

На столе лежат  N > 2  кучек по одному ореху в каждой. Двое ходят по очереди. За ход нужно выбрать две кучки, где числа орехов взаимно просты, и объединить эти кучки в одну. Выиграет тот, кто сделает последний ход. Для каждого N выясните, кто из играющих может всегда выигрывать, как бы ни играл его противник.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111915

Темы:   [ Треугольники с углами 60° и 120° ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Угол B при вершине равнобедренного треугольника ABC равен 120°. Из вершины B выпустили внутрь треугольника два луча под углом 60° друг к другу, которые, отразившись от основания AC в точках P и Q, попали на боковые стороны в точки M и N (см. рис.). Докажите, что площадь треугольника PBQ равна сумме площадей треугольников AMP и CNQ.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111922

Темы:   [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Сочетания и размещения ]
[ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Фольклор

Докажите, что при любых натуральных  0 < k < m < n  числа    и    не взаимно просты.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111687

Темы:   [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Биссектриса делит дугу пополам ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Поворотная гомотетия (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

На сторонах AC и BC неравнобедренного треугольника ABC во внешнюю сторону построены как на основаниях равнобедренные треугольники AB'C и CA'B с одинаковыми углами при основаниях, равными φ. Перпендикуляр, проведённый из вершины C к отрезку A'B', пересекает серединный перпендикуляр к отрезку AB в точке C1. Найдите угол AC1B.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64532

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Франк М.

В ячейку памяти компьютера записали число 6. Далее компьютер делает миллион шагов. На шаге номер n он увеличивает число в ячейке на наибольший общий делитель этого числа и n. Докажите, что на каждом шаге компьютер увеличивает число в ячейке либо на 1, либо на простое число.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 44]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .