ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      



Задача 111804  (#08.4.10.3)

Темы:   [ Разложение в произведение транспозиций и циклов ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Процессы и операции ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

В очереди к стоматологу стоят 30 ребят: мальчиков и девочек. Часы на стене показывают 8:00. Как только начинается новая минута, каждый мальчик, за которым стоит девочка, пропускает её вперед. Докажите, что перестановки в очереди закончатся до 8:30, когда откроется дверь кабинета.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111805  (#08.4.10.4)

Темы:   [ Арифметическая прогрессия ]
[ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]
[ Ограниченность, монотонность ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Последовательность (an) задана условиями a1= 1000000 , an+1=n[]+n . Докажите, что в ней можно выделить бесконечную подпоследовательность, являющуюся арифметической прогрессией.
Прислать комментарий     Решение


Задача 111806  (#08.4.10.5)

Темы:   [ Математическая логика (прочее) ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

На острове живут 100 рыцарей и 100 лжецов, у каждого из них есть хотя бы один друг. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды утром каждый житель произнес либо фразу "Все мои друзья – рыцари", либо фразу "Все мои друзья – лжецы", причем каждую из фраз произнесло ровно 100 человек. Найдите наименьшее возможное число пар друзей, один из которых рыцарь, а другой – лжец.
Прислать комментарий     Решение


Задача 111807  (#08.4.10.6)

Тема:   [ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

По кругу расставлены красные и синие числа. Каждое красное число равно сумме соседних чисел, а каждое синее– полусумме соседних чисел. Докажите, что сумма красных чисел равна нулю.
Прислать комментарий     Решение


Задача 111808  (#08.4.10.7)

Темы:   [ Средние величины ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Теория алгоритмов (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

На бесконечной в обе стороны ленте бумаги выписаны все целые числа, каждое – ровно по одному разу.
Могло ли оказаться, что между каждыми двумя числами не стоит их среднее арифметическое?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .