ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



Задача 115897  (#9.1)

Темы:   [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Две пары подобных треугольников ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Середина стороны треугольника и основание высоты, проведённой к этой стороне, симметричны относительно точки касания этой стороны с вписанной окружностью. Докажите, что эта сторона составляет треть периметра треугольника.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115898  (#9.2)

Темы:   [ Четырехугольник (неравенства) ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Мусин О.

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Обозначим через Ra, Rb, Rc и Rd радиусы описанных окружностей треугольников DAB, ABC, BCD, CDA. Докажите, что неравенство  Ra < Rb < Rc < Rd  выполняется тогда и только тогда, когда  180° – ∠CDB < ∠CAB < ∠CDB.


Прислать комментарий     Решение

Задача 115899  (#9.3)

Темы:   [ Описанные четырехугольники ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Четырёхугольник ABCD описан около окружности, лучи BA и CD пересекаются в точке E, лучи BC и AD – в точке F. Вписанная окружность треугольника, образованного прямыми AB, CD и биссектрисой угла B, касается прямой AB в точке K, а вписанная окружность треугольника, образованного прямыми AD, BC и биссектрисой угла B, касается прямой BC в точке L. Докажите, что прямые KL, AC и EF пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115900  (#9.4)

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Проективная геометрия (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Белухов Н.

Дан правильный 17-угольник A1... A17. Докажите, что треугольники, образованные прямыми A1A4, A2A10, A13A14 и A2A3, A4A6, A14A15, равны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115901  (#9.5)

Темы:   [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Комбинаторная геометрия (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

На окружности отметили n точек. Оказалось, что среди треугольников с вершинами в этих точках ровно половина остроугольных.
Найдите все значения n, при которых это возможно.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .