ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



Задача 115872  (#16)

Темы:   [ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Три прямые проходят через точку O и образуют попарно равные углы. На одной из них взяты точки A1, A2, на другой – B1, B2, так что точка C1 пересечения прямых A1B1 и A2B2 лежит на третьей прямой. Пусть C2 – точка пересечения A1B2 и A2B1. Докажите, что угол C1OC2 прямой.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115873  (#17)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Прямая Симсона ]
[ Теорема Карно ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11

Дан треугольник ABC и точки X, Y, не лежащие на его описанной окружности Ω. Пусть A1, B1, C1 – проекции X на BC, CA, AB, а A2, B2, C2 – проекции Y. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из A1, B1, C1 на, соответственно, B2C2, C2A2, A2B2, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда прямая XY проходит через центр Ω.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115874  (#18)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ ГМТ с ненулевой площадью ]
[ Соображения непрерывности ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

На плоскости даны три параллельные прямые.
Найдите геометрическое место центров вписанных окружностей треугольников, вершины которых расположены (по одной) на этих прямых.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115875  (#19)

Темы:   [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Дан выпуклый n-угольник A1...An. Пусть Pi  (i = 1, ..., n)  – такая точка на его границе, что прямая AiPi делит его площадь пополам. Известно, что все точки Pi не совпадают с вершинами и лежат на k сторонах n-угольника. Каково  а) наименьшее;  б) наибольшее возможное значение k при каждом данном n?

Прислать комментарий     Решение

Задача 115877  (#20)

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

В остроугольном треугольнике ABC точка H – ортоцентр, O – центр описанной окружности, AA1, BB1 и CC1 – высоты. Точка C2 симметрична C относительно A1B1. Докажите, что H, O, C1 и C2 лежат на одной окружности.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .