ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



Задача 116684  (#1)

Темы:   [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

В стране Далёкой провинция называется крупной, если в ней живёт более 7% жителей этой страны. Известно, что для каждой крупной провинции найдутся такие две провинции с меньшим населением , что их суммарное население больше, чем у этой крупной провинции. Какое наименьшее число провинций может быть в стране Далёкой?

Прислать комментарий     Решение

Задача 116685  (#2)

Темы:   [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

В ряд лежит чётное число груш. Массы любых двух соседних груш отличаются не более чем на 1 г. Докажите, что можно все груши разложить по две в одинаковые пакеты и выложить пакеты в ряд так, чтобы массы любых двух соседних пакетов тоже отличались не более чем на 1 г.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116675  (#3)

Темы:   [ Параллелограммы (прочее) ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9

В параллелограмме ABCD опустили перпендикуляр BH на сторону AD. На отрезке BH отметили точку M, равноудалённую от точек C и D. Пусть точка K – середина стороны AB. Докажите, что угол MKD прямой.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116676  (#4)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 7,8,9

Рациональные числа x, y и z таковы, что все числа  x + y² + z²,  x² + y + z²  и  x² + y² + z  целые. Докажите, что число 2x целое.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116688  (#5)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
[ Соображения непрерывности ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Дан треугольник ABC. Прямая l касается вписанной в него окружности. Обозначим через la, lb, lc прямые, симметричные l относительно биссектрис внешних углов треугольника. Докажите, что треугольник, образованный этими прямыми, равен треугольнику ABC.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .