ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



Задача 116766  (#10.4)

Темы:   [ Многочлены (прочее) ]
[ Процессы и операции ]
[ Ориентированные графы ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11

Изначально на доске были написаны одночленs  1, x, x², ..., xn.  Договорившись заранее, k мальчиков каждую минуту одновременно вычисляли каждый сумму каких-то двух многочленов, написанных на доске, и результат дописывали на доску. Через m минут на доске были написаны, среди прочих, многочлены  S1 = 1 + x,  S2 = 1 + x + x²,  S3 = 1 + x + x² + x3,  ...,  Sn = 1 + x + x² + ... + xn.  Докажите, что  

Прислать комментарий     Решение

Задача 116774  (#11.4)

Темы:   [ Пирамида (прочее) ]
[ Свойства разверток ]
[ Касательные к сферам ]
[ Соображения непрерывности ]
[ Неравенства с трехгранными углами ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Пак И.

Дана пирамида SA1A2...An, основание которой – выпуклый многоугольник A1A2...An. Для каждого  i = 1, 2, ..., n  в плоскости основания построили треугольник XiAiAi+1, равный треугольнику SAiAi+1 и лежащий по ту же сторону от прямой AiAi+1, что и основание (мы полагаем  An+1 = A1).  Докажите, что построенные треугольники покрывают всё основание.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116759  (#9.5)

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Полуинварианты ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 3
Классы: 9,10

По кругу стоит 101 мудрец. Каждый из них либо считает, что Земля вращается вокруг Юпитера, либо считает, что Юпитер вращается вокруг Земли. Один раз в минуту все мудрецы одновременно оглашают свои мнения. Сразу после этого каждый мудрец, оба соседа которого думают иначе, чем он, меняет своё мнение, а остальные – не меняют. Докажите, что через некоторое время мнения перестанут меняться.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116759  (#10.5)

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Полуинварианты ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 3
Классы: 9,10

По кругу стоит 101 мудрец. Каждый из них либо считает, что Земля вращается вокруг Юпитера, либо считает, что Юпитер вращается вокруг Земли. Один раз в минуту все мудрецы одновременно оглашают свои мнения. Сразу после этого каждый мудрец, оба соседа которого думают иначе, чем он, меняет своё мнение, а остальные – не меняют. Докажите, что через некоторое время мнения перестанут меняться.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116775  (#11.5)

Темы:   [ Многочлен нечетной степени имеет действительный корень ]
[ Функции. Непрерывность (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Даны многочлен P(x) и такие числа  a1, a2, a3, b1, b2, b3,  что  a1a2a3 ≠ 0.  Оказалось, что  P(a1x + b1) + P(a2x + b2) = P(a3x + b3)  для любого действительного x. Докажите, что P(x) имеет хотя бы один действительный корень.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .