ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



Задача 116764  (#10.2)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Окружность ω, вписанная в остроугольный неравнобедренный треугольник ABC, касается стороны BC в точке D. Пусть точка I – центр окружности ω, а O – центр описанной окружности треугольника ABC. Описанная окружность треугольника AID, пересекает вторично прямую AO в точке E. Докажите, что длина отрезка AE равна радиусу окружности ω.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116765  (#10.3)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Симметрические многочлены ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Каждые два из действительных чисел a1, a2, a3, a4, a5 отличаются не менее чем на 1. Оказалось, что для некоторого действительного k выполнены равенства     Докажите, что  k² ≥ 25/3.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116765  (#11.2)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Симметрические многочлены ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Каждые два из действительных чисел a1, a2, a3, a4, a5 отличаются не менее чем на 1. Оказалось, что для некоторого действительного k выполнены равенства     Докажите, что  k² ≥ 25/3.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116773  (#11.3)

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Раскраски ]
[ Свойства модуля. Неравенство треугольника ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Клетчатая плоскость раскрашена в шахматном порядке в чёрный и белый цвета. Затем белые клетки снова раскрашены в красный и синий цвета так, чтобы клетки, соседние по углу, были разноцветными. Пусть l – прямая, не параллельная сторонам клеток. Для каждого отрезка I, параллельного l, посчитаем разность сумм длин его красных и синих участков. Докажите, что существует число C (зависящее только от прямой l) такое, что все полученные разности не превосходят C.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116758  (#9.4)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Симметрические многочлены ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

Положительные действительные числа    a1, ..., an  и k таковы, что  a1 + ... + an = 3k,     и    .
Докажите, что какие-то два из чисел  a1, ..., an  отличаются больше чем на 1.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .