ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]      



Задача 116760  (#9.6)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Признаки равенства прямоугольных треугольников ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Углы между биссектрисами ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10

Точки A1, B1, C1 выбраны на сторонах BC, CA и AB треугольника ABC соответственно. Оказалось, что  AB1AC1 = CA1CB1 = BC1BA1.  Пусть IA, IB и IC – центры окружностей, вписанных в треугольники AB1C1, A1BC1 и A1B1C, соответственно. Докажите, что центр описанной окружности треугольника IAIBIC совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116761  (#9.7)

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Полуинварианты ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

Изначально на доске записаны 10 последовательных натуральных чисел. За одну операцию разрешается выбрать любые два числа на доске (обозначим их a и b) и заменить их на числа  a² – 2011b²  и ab. После нескольких таких операций на доске не осталось ни одного из исходных чисел. Могли ли там опять оказаться 10 последовательных натуральных чисел (записанных в некотором порядке)?

Прислать комментарий     Решение

Задача 116762  (#9.8)

Темы:   [ Теория графов (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10

В некотором городе сеть автобусных маршрутов устроена так, что каждые два маршрута имеют ровно одну общую остановку, и на каждом маршруте есть хотя бы 4 остановки. Докажите, что все остановки можно распределить между двумя компаниями так, что на каждом маршруте найдутся остановки обеих компаний.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .