ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



Задача 116911  (#10.1)

Темы:   [ Замощения костями домино и плитками ]
[ Четность и нечетность ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Степень вершины ]
Сложность: 3
Классы: 9,10

При каких n можно оклеить в один слой поверхность клетчатого куба n×n×n бумажными прямоугольниками 1×2 так, чтобы каждый прямоугольник граничил по отрезкам сторон ровно с пятью другими?

Прислать комментарий     Решение

Задача 116912  (#10.2)

Темы:   [ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

Точку внутри треугольника назовём хорошей, если длины проходящих через неё чевиан обратно пропорциональны длинам соответствующих сторон. Найдите все треугольники, для которых число хороших точек – максимально возможное.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116913  (#10.3)

Темы:   [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Точка Нагеля. Прямая Нагеля ]
[ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ]
[ Формулы для площади треугольника ]
[ Момент инерции ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10

Пусть M и I – точки пересечения медиан и биссектрис неравнобедренного треугольника ABC, а r – радиус вписанной в него окружности.
Докажите, что  MI = r/3  тогда и только тогда, когда прямая MI перпендикулярна одной из сторон треугольника.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116914  (#10.4)

Темы:   [ ГМТ (прочее) ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Кривые второго порядка ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10

Дан квадрат. Найдите геометрическое место середин гипотенуз прямоугольных треугольников, вершины которых лежат на попарно различных сторонах квадрата и не совпадают с его вершинами.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116915  (#10.5)

Темы:   [ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ]
[ Экстремальные свойства окружности и криволинейных фигур ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Автор: Нилов Ф.

В окружность Ω вписан четырёхугольник ABCD, диагонали AC и BD которого перпендикулярны. На сторонах AB и CD во внешнюю сторону как на диаметрах построены дуги α и β. Рассмотрим две луночки, образованные окружностью Ω и дугами α и β (см. рис.). Докажите, что максимальные радиусы окружностей, вписанных в эти луночки, равны.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .