ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



Задача 64344  (#9.1)

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Доказательство от противного ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Теорема о промежуточном значении. Связность ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Даны различные действительные числа a, b, с. Докажите, что хотя бы два из уравнений  (x – a)(x – b) = x – c,  (x – b)(x – c) = x – a,
(x – c)(x – a) = x – b  имеют решение.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64345  (#9.2)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Угол между касательной и хордой ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10

Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность Ω. Касательные, проведённые к Ω в точках B и C, пересекаются в точке P. Точки D и E – основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямые AB и AC. Докажите, что точка пересечения высот треугольника ADE является серединой отрезка BC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64346  (#9.3)

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

На доске написали 100 попарно различных натуральных чисел a1, a2, ..., a100. Затем под каждым числом ai написали число bi, полученное прибавлением к ai наибольшего общего делителя остальных 99 исходных чисел. Какое наименьшее количество попарно различных чисел может быть среди b1, b2, ..., b100?

Прислать комментарий     Решение

Задача 64347  (#9.4)

Темы:   [ Системы отрезков, прямых и окружностей ]
[ Ломаные ]
[ Индукция в геометрии ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

Автор: Фольклор

На плоскости проведены n прямых, среди которых нет параллельных. Никакие три из них не пересекаются в одной точке. Докажите, что существует такая n-звенная несамопересекающаяся ломаная A0A1A2...An, что на каждой из n прямых лежит ровно по одному звену этой ломаной.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64348  (#9.5)

Тема:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

По кругу расставлено 2n действительных чисел, сумма которых положительна. Для каждого из них рассмотрим обе группы из n подряд стоящих чисел, в которых это число является крайним. Докажите, что найдётся число, для которого сумма чисел в каждой из двух таких групп положительна.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .