ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



Задача 64594  (#1)

Темы:   [ Шестиугольники ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

В выпуклом шестиугольнике ABCDEF противоположные стороны попарно параллельны  (AB || DE,  BC || EF,  CD || FA),  а также  AB = DE.
Докажите, что  BC = EF  и  CD = FA.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64595  (#2)

Темы:   [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]
[ Классическая комбинаторика (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

На плоскости нарисовали 10 равных отрезков и отметили все их точки пересечения. Оказалось, что каждая точка пересечения делит любой проходящий через неё отрезок в отношении  3 : 4.  Каково наибольшее возможное число отмеченных точек?

Прислать комментарий     Решение

Задача 64596  (#3)

Темы:   [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Есть тридцать карточек, на каждой написано по числу: на десяти карточках – a, на десяти других – b, и на десяти оставшихся – c (числа a, b, c все разные). Известно, что к любым пяти карточкам можно подобрать еще пять так, что сумма чисел на этих десяти карточках будет равна нулю. Докажите, что одно из чисел a, b, c равно нулю.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64597  (#4)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Найдите все натуральные n, при которых  (n + 1)!  делится на сумму  1! + ... + n!.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64598  (#5)

Темы:   [ Раскраски ]
[ Замощения костями домино и плитками ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Клетки доски 10·10 раскрашены в красный, синий и белый цвета. Каждые две клетки с общей стороной раскрашены в разные цвета. Известно, что красных клеток 20.
  а) Докажите, что всегда можно вырезать 30 прямоугольников, каждый из которых состоит из двух клеток – белой и синей.
  б) Приведите пример раскраски, когда можно вырезать 40 таких прямоугольников.
  в) Приведите пример раскраски, когда нельзя вырезать больше 30 таких прямоугольников.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .