Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64735  (#9.2)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Взаимное расположение двух окружностей ] [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Два треугольника пересекаются. Докажите, что внутри описанной окружности одного из них лежит хотя бы одна вершина другого. (Треугольником считается часть плоскости, ограниченная замкнутой трёхзвенной ломаной; точка, лежащая на окружности, считается лежащей внутри неё.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64743  (#10.2)

Темы:   [ Взаимное расположение двух окружностей ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Каждая из двух равных окружностей ω₁ и ω₂ проходит через центр другой. Треугольник ABC вписан в ω₁, а прямые AC, BC касаются ω₂.
Докажите, что  cos∠A + cos∠B = 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65003  (#2)

Темы:   [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Средняя линия трапеции ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В прямоугольном треугольнике ABC  (∠C = 90°)  биссектрисы AA₁ и BB₁ пересекаются в точке I. Пусть O – центр описанной окружности треугольника CA₁B₁. Докажите, что  OI ⊥ AB.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64701  (#8.3)

Темы:   [ Четырехугольники (прочее) ] [ Осевая и скользящая симметрии (прочее) ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

В выпуклом четырёхугольнике ABCD лучи AB и DC пересекаются в точке K. На биссектрисе угла AKD нашлась такая точка P, что прямые BP и CP делят пополам отрезки AC и BD соответственно. Докажите, что  AB = CD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64736  (#9.3)

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

На прямой лежат точки X, Y, Z (именно в таком порядке). Треугольники XAB, YBC, ZCD – правильные, причём вершины первого и третьего ориентированы против часовой стрелки, а второго по часовой стрелке. Докажите, что прямые AC, BD и XY пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями