Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64728  (#1)

Темы:   [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Существует ли такой квадратный трёхчлен  f(x) = ax² + bx + c  с целыми коэффициентами и a, не кратным 2014, что все числа  f(1),  f(2), ...,  f(2014) имеют различные остатки при делении на 2014?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64729  (#2)

Темы:   [ Тригонометрические неравенства ] [ Возрастание и убывание. Исследование функций ] [ Производная и экстремумы ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Найдите все такие a и b, что    и при всех x выполнено неравенство  |a sin x + b sin 2x| ≤ 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64730  (#3)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Докажите, что для любого натурального n найдётся натуральное число, десятичная запись квадрата которого начинается n единицами, а заканчивается какой-то комбинацией из n единиц и двоек.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64731  (#4)

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Сочетания и размещения ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

У повара в подчинении десять поварят, некоторые из которых дружат между собой. Каждый рабочий день повар назначает одного или нескольких поварят на дежурство, а каждый из дежурных поварят уносит с работы по одному пирожному каждому своему недежурящему другу. В конце дня повар узнает количество пропавших пирожных. Сможет ли он за 45 рабочих дней понять, кто из поварят дружит между собой, а кто нет?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64732  (#5)

Темы:   [ Описанные многогранники ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Проектирование помогает решить задачу ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Поверхность выпуклого многогранника A₁B₁C₁A₂B₂C₂ состоит из восьми треугольных граней A_iB_jC_k, где i, j, k меняются от 1 до 2. Сфера с центром в точке O касается всех этих граней. Докажите, что точка O и середины трёх отрезков A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ лежат в одной плоскости.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями