Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64802  (#8.7)

Темы:   [ Ломаные ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Две точки окружности соединили ломаной, длина которой меньше диаметра окружности.
Докажите, что существует диаметр, не пересекающий эту ломаную.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64803  (#8.8)

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ ГМТ - прямая или отрезок ] [ Средняя линия треугольника ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Пусть M – середина хорды AB окружности с центром O. Точка K симметрична M относительно O, P – произвольная точка окружности. Перпендикуляр к AB в точке A и перпендикуляр к PK в точке P пересекаются в точке Q. Точка H – проекция P на AB. Докажите, что прямая QB делит отрезок PH пополам.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64804  (#9.1)

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Теорема синусов ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Пусть ABCD – вписанный четырёхугольник. Докажите, что  AC > BD  тогда и только тогда, когда  (AD – BC)(AB – CD) > 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64805  (#9.2)

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Радикальная ось ] [ Средняя линия треугольника ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

В четырёхугольнике ABCD углы A и C – прямые. На сторонах AB и CD как на диаметрах построены окружности, пересекающиеся в точках X и Y. Докажите, что прямая XY проходит через середину K диагонали AC

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64806  (#9.3)

Темы:   [ Построение треугольников по различным элементам ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Гомотетия: построения и геометрические места точек ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Дан острый угол с вершиной A и точка E внутри него. Построить на сторонах угла точки B, C так, чтобы E была центром окружности Эйлера треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями