ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



Задача 64913  (#11)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]
[ Признаки подобия ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Tran Quang Hung

Дан треугольник ABC и точка P. Точки A', B', C' – проекции P на прямые BC, CA, AB. Прямая, проходящая через P и параллельная AB, вторично пересекает описанную окружность треугольника PA'B' в точке C1. Точки A1, B1 определены аналогично. Докажите, что
  а) прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке;
  б) треугольники ABC и A1B1C1 подобны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64914  (#12)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Синусы и косинусы углов треугольника ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

Пусть O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. Прямая, проходящая через O и параллельная BC, пересекает AB и AC в точках P и Q соответственно. Известно, что сумма расстояний от точки O до сторон AB и AC равна OA. Докажите, что сумма отрезков PB и QC равна PQ.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64915  (#13)

Темы:   [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10

Даны точки A, B. Найдите геометрическое место таких точек C, что C, середины отрезков AC, BC и точка пересечения медиан треугольника ABC лежат на одной окружности.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64916  (#14)

Темы:   [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Отношение площадей треугольников с общим углом ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

В выпуклом четырёхугольнике ABCD  O – точка пересечения диагоналей, а M – середина стороны BC. Прямые MO и AD пересекаются в точке E. Докажите, что  AE : ED = SABO : SCDO.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64917  (#15)

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Прямая Симсона ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Дан треугольник ABC. Рассматриваются прямые l, обладающие следующим свойством: три прямые, симметричные l относительно сторон треугольника, пересекаются в одной точке. Докажите, что все такие прямые проходят через одну точку.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .