Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65042  (#16)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

Дан треугольник ABC и прямая l. Прямые, симметричные l относительно AB и AC пересекаются в точке A₁. Точки B₁, C₁ определяются аналогично. Докажите, что
  а) прямые AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в одной точке;
  б) эта точка лежит на описанной окружности треугольника ABC ;
  в) точки, построенные указанным способом для двух перпендикулярных прямых, диаметрально противоположны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65043  (#17)

Темы:   [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ] [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ] [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

а) Существует ли треугольник, в котором наименьшая медиана длиннее наибольшей биссектрисы?

б) Существует ли треугольник, в котором наименьшая биссектриса длиннее наибольшей высоты?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65044  (#18)

Темы:   [ Плоскость, разрезанная прямыми ] [ Прямые, лучи, отрезки и углы (прочее) ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

На плоскости проведены  n > 2  прямых общего положения (то есть никакие две прямые не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке). Эти прямые разрезали плоскость на несколько частей. Какое
  а) наименьшее;
  б) наибольшее
количество углов может быть среди этих частей?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65045  (#19)

Темы:   [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Средняя линия треугольника ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Существует ли неравнобедренный треугольник, у которого медиана, проведённая из одной вершины, биссектриса, проведённая из другой, и высота, проведённая из третьей, равны?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65046  (#20)

Темы:   [ Описанные четырехугольники ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Теорема о группировке масс ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром I. Точки M и N – середины диагоналей AC и BD.
Докажите, что четырёхугольник ABCD – вписанный тогда и только тогда, когда  IM : AC = IN : BD.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями