ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      



Задача 65243  (#10.2)

Темы:   [ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Дан параллелограмм ABCD, в котором  AB < AC < BC.  Точки E и F выбраны на описанной окружности ω треугольника ABC так, что касательные к ω в этих точках проходят через точку D; при этом отрезки AD и CE пересекаются. Оказалось, что  ∠ABF = ∠DCE.  Найдите угол ABC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65251  (#11.2)

Темы:   [ Четность и нечетность ]
[ Обыкновенные дроби ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Пусть  n > 1  – натуральное число. Выпишем дроби  1/n, 2/n, ..., n–1/n  и приведём каждую к несократимому виду; сумму числителей полученных дробей обозначим через  f(n). При каких натуральных  n > 1  числа  f(n) и  f(2015n) имеют разную чётность?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65113  (#9.3)

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Инварианты ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Правильный треугольник со стороной 3 разбит на девять треугольных клеток, как показано на рисунке. В этих клетках изначально записаны нули. За один ход можно выбрать два числа, находящиеся в соседних по стороне клетках, и либо прибавить к обоим по единице, либо вычесть из обоих по единице. Петя хочет сделать несколько ходов так, чтобы после этого в клетках оказались записаны в некотором порядке последовательные натуральные числа  n, n + 1, ..., n + 8.  При каких n он сможет это сделать?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65121  (#10.3)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Пусть AL – биссектриса треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к отрезкуAL пересекает описанную окружность Ω треугольника ABC, в точках P и Q. Докажите, что описанная окружность треугольника PLQ, касается стороны BC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65127  (#11.3)

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Якубов А.

Продолжения медиан AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекают его описанную окружность в точках A0, B0 и C0 соответственно. Оказалось, что площади треугольников ABC0, AB0C и A0BC равны. Докажите, что треугольник ABC равносторонний.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .