Страница:
<< 1 2 3 4
5 6 7 >> [Всего задач: 48]
Задача
65237
(#9.3)
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Натуральные числа a, x и y, большие 100, таковы, что
y² – 1 = a²(x² – 1). Какое наименьшее значение может принимать дробь a/x?
Задача
65244
(#10.3)
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
На соревнованиях по фигурному велосипедированию было 100 судей. Каждый судья упорядочил всех участников (от лучшего по его мнению – к худшему). Оказалось, что ни для каких трёх участников A, B, C не нашлось
трёх судей, один из которых считает, что A – лучший из трёх, а B – худший, другой – что B лучший, а C худший, а третий – что C лучший, а A худший. Докажите, что можно составить общий рейтинг участников так, чтобы для каждых двух участников A и B тот, кто выше в рейтинге, был бы лучше другого по мнению хотя бы половины судей.
Задача
65238
(#11.3)
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
В волейбольном турнире участвовали 110 команд, каждая сыграла с каждой из остальных ровно одну игру (в волейболе не бывает ничьих). Оказалось, что в любой группе из 55 команд найдётся одна, которая проиграла не более чем четырём из остальных 54 команд этой группы. Докажите, что во всём турнире найдётся команда, проигравшая не более чем четырём из остальных 109 команд.
Задача
65114
(#9.4)
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
В неравнобедренном треугольнике ABC провели биссектрисы угла ABC и угла, смежного с ним. Они пересекли прямую AC в точках B1 и B2 соответственно. Из точек B1 и B2 провели касательные к окружности ω, вписанной
в треугольник ABC, отличные от прямой AC. Они касаются ω в точках K1 и K2 соответственно. Докажите, что точки B, K1 и K2 лежат на одной прямой.
Задача
65122
(#10.4)
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Положительные числа a, b, c удовлетворяют соотношению ab + bc + ca = 1. Докажите, что 
Страница:
<< 1 2 3 4
5 6 7 >> [Всего задач: 48]
Фильтр
