Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 12]

Задача 65227

Темы:	[	Трапеции (прочее)	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Штейнгарц Л.

В трапеции ABCD биссектрисы углов A и D пересекаются в точке E, лежащей на боковой стороне BC. Эти биссектрисы разбивают трапецию на три треугольника, в которые вписали окружности. Одна из этих окружностей касается основания AB в точке K, а две другие касаются биссектрисы DE в точках M и N. Докажите, что BK = MN.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65228

Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Ромбы. Признаки и свойства	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Прокопенко Д.

На стороне BE правильного треугольника ABE вне его построен ромб BCDE. Отрезки AC и BD пересекаются в точке F. Докажите, что AF < BD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65232

Темы:	[	Трапеции (прочее)	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
	[	Перегруппировка площадей	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Блинков Ю.А.

O – точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Прямая, проходящая через C и точку, симметричную B относительно O, пересекает основание AD в точке K. Докажите, что S_AOK = S_AOB + S_DOK.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65233

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Гаркавый А.

В треугольнике ABC M – середина стороны BC, P – точка пересечения касательных в точках B и C к описанной окружности, N – середина отрезка MP. Отрезок AN пересекает описанную окружность в точке Q. Докажите, что ∠PMQ = ∠MAQ.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65229

Темы:	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Якубов А.

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведена высота AH. На сторонах AC и AB отмечены точки B₁ и C₁ соответственно, так, что HA – биссектриса угла B₁HC₁ и четырёхугольник BC₁B₁C – вписанный. Докажите, что B₁ и C₁ – основания высот треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 12]