ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      



Задача 66248  (#21)

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Пересекающиеся окружности ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Радикальная ось ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Якубов А.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ω с центром O, M1 и M2 – середины сторон AB и CD соответственно; Ω – описанная окружность треугольника OM1M2X1 и X2 – точки пересечения ω с Ω, а Y1 и Y2 – вторые точки пересечения описанных окружностей ω1 и ω2 треугольников CDM1 и ABM2 соответственно с Ω.
Докажите, что  X1X2 || Y1Y2.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66249  (#22)

Темы:   [ Правильные многогранники. Двойственность и взаимосвязи ]
[ Раскраски ]
[ Правильный тетраэдр ]
[ Объем помогает решить задачу ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Грани икосаэдра окрасили в пять цветов (среди которых есть красный и синий) так, что две грани, окрашенные в один цвет, не имеют общих точек, даже вершин. Докажите, что для любой точки внутри икосаэдра сумма расстояний от нее до красных граней равна сумме расстояний до синих граней.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66250  (#23)

Темы:   [ Тетраэдр (прочее) ]
[ Радикальная плоскость ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Ягудин М.

Дан тетраэдр ABCD. В грани ABC и ABD вписаны окружности с центрами O1, O2, касающиеся ребра AB в точках T1, T2. Плоскость πAB проходит через середину отрезка T1T2 и перпендикулярна O1O2. Аналогично определяются плоскости πAC, πBC, πAD, πBD, πCD. Докажите, что все эти шесть плоскостей проходят через одну точку.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66251  (#24)

Темы:   [ Тетраэдр (прочее) ]
[ Сфера, вписанная в тетраэдр ]
[ Поворот и винтовое движение ]
[ Прямые и плоскости в пространстве (прочее) ]
[ Касательные к сферам ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ ГМТ в пространстве (прочее) ]
[ Барицентрические координаты ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

В тетраэдр ABCD вписана сфера с центром O, касающаяся его граней BCD, ACD, ABD и ABC в точках A1, B1, C1 и D1 соответственно.
  а) Пусть Pa – такая точка, что точки, симметричные ей относительно прямых OB, OC и OD, лежат в плоскости BCD. Точки Pb, Pc и Pd определяются аналогично. Докажите, что прямые A1Pa, B1Pb, C1Pc и D1Pd пересекаются в некоторой точке P.
  б) Пусть I – центр сферы, вписанной в тетраэдр A1B1C1D1A2 – точка пересечения прямой A1I с плоскостью B1C1D1B2, C2, D2 определены аналогично. Докажите, что P лежит внутри тетраэдра A2B2C2D2.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .