ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



Задача 65461  (#1)

Темы:   [ Замощения костями домино и плитками ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Будем называть клетчатый многоугольник выдающимся, если он не является прямоугольником и из нескольких его копий можно сложить подобный ему многоугольник. Например, уголок из трёх клеток – выдающийся многоугольник (см. рис.).

  а) Придумайте выдающийся многоугольник из четырёх клеток.
  б) При каких  n > 4  существует выдающийся многоугольник из n клеток?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65462  (#2)

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Из целых чисел от 1 до 100 удалили k чисел. Обязательно ли среди оставшихся чисел можно выбрать k различных чисел с суммой 100, если
  а)  k = 9;   б)  k = 8?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65463  (#3)

Темы:   [ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Периметр треугольника ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Докажите, что сумма длин любых двух медиан произвольного треугольника
  а) не больше ¾ P, где P – периметр этого треугольника;
  б) не меньше ¾ p, где p – полупериметр этого треугольника.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65464  (#4)

Темы:   [ Теория игр (прочее) ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Из спичек сложен клетчатый квадрат 9×9, сторона каждой клетки – одна спичка. Петя и Вася по очереди убирают по спичке, начинает Петя. Выиграет тот, после чьего хода не останется целых квадратиков 1×1. Кто может действовать так, чтобы обеспечить себе победу, как бы ни играл его соперник?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65465  (#5)

Темы:   [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В треугольнике ABC медианы AA0, BB0, CC0 пересекаются в точке M.
Докажите, что центры описанных окружностей треугольников MA0B0, MCB0, MA0C0, MBC0 и точка M лежат на одной окружности.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .