ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      



Задача 65698  (#9.6)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество A, состоящее из натуральных чисел, полным, если для любых натуральных a и b (не обязательно различных и не обязательно лежащих в A), при которых  a + b  лежит в A, число ab также лежит в A. Найдите все полные множества натуральных чисел.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65703  (#10.6)

Темы:   [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Признаки и свойства касательной ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Обухов Б.

Внутри равнобокой трапеции ABCD с основаниями BC и AD расположена окружность ω с центром I, касающаяся отрезков AB, CD и DA. Описанная окружность треугольника BIC вторично пересекает сторону AB в точке E. Докажите, что прямая CE касается окружности ω.
Прислать комментарий     Решение


Задача 65709  (#11.6)

Темы:   [ Касающиеся сферы ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

В пространстве расположены 2016 сфер, никакие две из них не совпадают. Некоторые из сфер – красного цвета, а остальные – зелёного. Каждую точку касания красной и зелёной сферы покрасили в синий цвет. Найдите наибольшее возможное количество синих точек.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65746  (#9.6)

Темы:   [ Разрезания на параллелограммы ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Квадрат разбит на  n² ≥ 4  прямоугольников  2(n – 1)  прямыми, из которых  n – 1  параллельны одной стороне квадрата, а остальные  n – 1  – другой. Докажите, что можно выбрать 2n прямоугольников разбиения таким образом, что для каждых двух выбранных прямоугольников один из них можно поместить в другой (возможно, предварительно повернув).

Прислать комментарий     Решение

Задача 65746  (#10.6)

Темы:   [ Разрезания на параллелограммы ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Квадрат разбит на  n² ≥ 4  прямоугольников  2(n – 1)  прямыми, из которых  n – 1  параллельны одной стороне квадрата, а остальные  n – 1  – другой. Докажите, что можно выбрать 2n прямоугольников разбиения таким образом, что для каждых двух выбранных прямоугольников один из них можно поместить в другой (возможно, предварительно повернув).

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .