ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



Задача 65698  (#9.6)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество A, состоящее из натуральных чисел, полным, если для любых натуральных a и b (не обязательно различных и не обязательно лежащих в A), при которых  a + b  лежит в A, число ab также лежит в A. Найдите все полные множества натуральных чисел.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65703  (#10.6)

Темы:   [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Признаки и свойства касательной ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Обухов Б.

Внутри равнобокой трапеции ABCD с основаниями BC и AD расположена окружность ω с центром I, касающаяся отрезков AB, CD и DA. Описанная окружность треугольника BIC вторично пересекает сторону AB в точке E. Докажите, что прямая CE касается окружности ω.
Прислать комментарий     Решение


Задача 65709  (#11.6)

Темы:   [ Касающиеся сферы ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

В пространстве расположены 2016 сфер, никакие две из них не совпадают. Некоторые из сфер – красного цвета, а остальные – зелёного. Каждую точку касания красной и зелёной сферы покрасили в синий цвет. Найдите наибольшее возможное количество синих точек.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65711  (#9.7)

Темы:   [ Таблицы и турниры (прочее) ]
[ Раскраски ]
[ Деление с остатком ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

В белой таблице 2016×2016 некоторые клетки окрасили чёрным. Назовём натуральное число k удачным, если  k ≤ 2016,  и в каждом из клетчатых квадратов со стороной k, расположенных в таблице, окрашено ровно k клеток. (Например, если все клетки чёрные, то удачным является только число 1.) Какое наибольшее количество чисел могут быть удачными?
Прислать комментарий     Решение


Задача 65713  (#10.7)

Темы:   [ Соображения непрерывности ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Власова Н.

По кругу стоят n мальчиков и n девочек. Назовём пару из мальчика и девочки хорошей, если на одной из дуг между ними стоит поровну мальчиков и девочек (в частности, стоящие рядом мальчик и девочка образуют хорошую пару). Оказалось, что есть девочка, которая участвует ровно в 10 хороших парах. Докажите, что есть и мальчик, который участвует ровно в 10 хороших парах.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы, Московского института открытого образования и ФЦП "Кадры" .