ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



Задача 65693  (#9.1)

Темы:   [ Квадратный трехчлен (прочее) ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Даны квадратные трёхчлены  f1(x),  f2(x), ...,  f100(x) с одинаковыми коэффициентами при x2, одинаковыми коэффициентами при x, но различными свободными членами; у каждого из них есть по два корня. У каждого трёхчлена fi(x) выбрали один корень и обозначили его через xi. Какие значения может принимать сумма  f2(x1) + f3(x2) + ... + f100(x99) + f1(x100)?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65694  (#9.2)

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Средняя линия треугольника ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Обухов Б.

Дан равнобедренный треугольник ABC,  AB = BC.  В окружности Ω, описанной около треугольника ABC, проведён диаметр CC'. Прямая, проходящая через точку C' параллельно BC, пересекает отрезки AB и AC в точках M и P соответственно. Докажите, что M – середина отрезка C'P.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65695  (#9.3)

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Петя выбрал несколько последовательных натуральных чисел и каждое записал либо красным, либо синим карандашом (оба цвета присутствуют).
Может ли сумма наименьшего общего кратного всех красных чисел и наименьшего общего кратного всех синих чисел являться степенью двойки?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65696  (#9.4)

Темы:   [ Взвешивания ]
[ Линейные неравенства и системы неравенств ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

У царя Гиерона есть 11 металлических слитков, неразличимых на вид; царь знает, что их веса (в некотором порядке) равны 1, 2, ..., 11 кг. Ещё у него есть мешок, который порвётся, если в него положить больше 11 кг. Архимед узнал веса всех слитков и хочет доказать Гиерону, что первый слиток имеет вес 1 кг. За один шаг он может загрузить несколько слитков в мешок и продемонстрировать Гиерону, что мешок не порвался (рвать мешок нельзя!). За какое наименьшее число загрузок мешка Архимед может добиться требуемого?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65697  (#9.5)

Темы:   [ Теория множеств (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

В классе учится 23 человека. В течение года каждый ученик этого класса один раз праздновал день рождения, на который пришли некоторые (хотя бы один, но не все) его одноклассники. Могло ли оказаться, что каждые два ученика этого класса встретились на таких празднованиях одинаковое число раз? (Считается, что на каждом празднике встретились каждые два гостя, а также именинник встретился со всеми гостями.)

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы, Московского института открытого образования и ФЦП "Кадры" .