ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



Задача 65749  (#10.1)

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ]
[ Степень вершины ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

В Национальной Баскетбольной Ассоциации 30 команд, каждая из которых проводит за год 82 матча с другими командами в регулярном чемпионате. Сможет ли руководство Ассоциации разделить команды (не обязательно поровну) на Восточную и Западную конференции и составить расписание игр так, чтобы матчи между командами из разных конференций составляли ровно половину от общего числа матчей?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65750  (#10.2)

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Диагонали AC и BD вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P. Точка Q выбрана на отрезке BC так, что  PQAC.
Докажите, что прямая, проходящая через центры описанных окружностей ω1 и ω2 треугольников APD и BQD, параллельна прямой AD.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65751  (#10.3)

Темы:   [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10

Дан кубический многочлен  f(x). Назовём циклом такую тройку различных чисел  (a, b, c),  что  f(a) = b,  f(b) = c  и  f(c) = a.  Известно, что нашлись восемь циклов  (ai, bi, ci),  i = 1, 2, ..., 8,  в которых участвуют 24 различных числа. Докажите, что среди восьми чисел вида  ai + bi + ci  есть хотя бы три различных.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65752  (#10.4)

Темы:   [ Выпуклые многоугольники ]
[ Доказательство от противного ]
[ Теория игр (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Внутри выпуклого 100-угольника выбрана точка X, не лежащая ни на одной его стороне или диагонали. Исходно вершины многоугольника не отмечены. Петя и Вася по очереди отмечают ещё не отмеченные вершины 100-угольника, причём Петя начинает и первым ходом отмечает сразу две вершины, а далее каждый своим очередным ходом отмечает по одной вершине. Проигрывает тот, после чьего хода точка X будет лежать внутри многоугольника с отмеченными вершинами. Докажите, что Петя может выиграть, как бы ни ходил Вася.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65745  (#10.5)

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Доказательство от противного ]
[ Признаки делимости на 3 и 9 ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составлены девять (не обязательно различных) девятизначных чисел; каждая из цифр использована в каждом числе ровно один раз. На какое наибольшее количество нулей может оканчиваться сумма этих девяти чисел?

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .