ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      



Задача 66271  (#10.4)

Темы:   [ Теория игр (прочее) ]
[ Многоугольники (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Индукция в геометрии ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Белухов Н.

Дьявол предлагает Человеку сыграть в следующую игру. Сначала Человек платит некоторую сумму s и называет 97 троек  {i, j, k},  где i, j, k – натуральные числа, не превосходящие 100. Затем Дьявол рисует выпуклый 100-угольник A1A2...A100 с площадью, равной 100, и выплачивает Человеку выигрыш, равный сумме площадей 97 треугольников AiAjAk. При каком наибольшем s Человеку выгодно согласиться?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65793  (#5)

Темы:   [ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

В четырёхугольнике ABCD  AB = CD,  M и K – середины BC и AD. Докажите, что угол между MK и AC равен полусумме углов BAC и DCA.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66256  (#8.5)

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Необычные построения (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

На прозрачном листе бумаги отмечены три точки. Докажите, что лист можно согнуть по некоторой прямой так, чтобы эти точки оказались в вершинах равностороннего треугольника.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66264  (#9.5)

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Биссектриса делит дугу пополам ]
[ Прямая Симсона ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Нилов Ф.

Центр окружности ω2 лежит на окружности ω1. Из точки X окружности ω1 проведены касательные XP и XQ к окружности ω2 (P и Q – точки касания), которые повторно пересекают ω1 в точках R и S. Докажите, что прямая PQ проходит через середину отрезка RS.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66272  (#10.5)

Темы:   [ Прямая призма ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Существует ли выпуклый многогранник, у которого рёбер столько же, сколько диагоналей? (Диагональю многогранника называется отрезок, соединяющий две вершины, не лежащие в одной грани.)

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .