ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 43]      



Задача 65825

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Теория алгоритмов (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10,11

На каждой клетке шахматной доски вначале стоит по ладье. Каждым ходом можно снять с доски ладью, которая бьет нечётное число ладей. Какое наибольшее число ладей можно снять? (Ладьи бьют друг друга, если они стоят на одной вертикали или горизонтали и между ними нет других ладей.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 65826

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Соображения непрерывности ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

По краю многоугольного стола ползут два муравья. Все стороны стола длиннее 1 м, а расстояние между муравьями всегда ровно 10 см. Сначала оба муравья находятся на одной из сторон стола.
  a) Пусть стол выпуклый. Всегда ли муравьи смогут проползти по краю стола так, чтобы в каждой точке края побывал каждый из муравьев?
  б) Пусть стол не обязательно выпуклый. Всегда ли муравьи смогут проползти по краю стола так, чтобы на краю не осталось точек, в которых не побывал ни один из муравьев?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65833

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

На окружности расставлено несколько положительных чисел, каждое из которых не больше 1. Докажите, что можно разделить окружность на три дуги так, что суммы чисел на соседних дугах будут отличаться не больше чем на 1. (Если на дуге нет чисел, то сумма на ней считается равной нулю.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 65839

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Четность и нечетность ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Вялый М.Н.

Аня, Боря и Витя сидят по кругу за столом и едят орехи. Сначала все орехи у Ани. Она делит их поровну между Борей и Витей, а остаток (если он есть) съедает. Затем все повторяется: каждый следующий (по часовой стрелке) делит имеющиеся у него орехи поровну между соседями, а остаток съедает. Орехов много (больше трёх). Докажите, что:
  a) хотя бы один орех будет съеден;
  б) все орехи не будут съедены.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65849

Темы:   [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]
[ Десятичная система счисления ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10

Существует ли такое натуральное n, что десятичная запись числа 2n начинается цифрой 5, а десятичная запись числа 5n начинается цифрой 2?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 43]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы, Московского института открытого образования и ФЦП "Кадры" .