ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



Задача 65852  (#1)

Темы:   [ Многоугольники (прочее) ]
[ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Дан выпуклый 100-угольник. Докажите, что можно отметить такие 50 точек внутри этого многоугольника, что каждая вершина будет лежать на прямой, проходящей через какие-то две из отмеченных точек.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65853  (#2)

Темы:   [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]
[ Десятичная система счисления ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Существуют ли такие натуральные n и k, что десятичная запись числа 2n начинается числом 5k, а десятичная запись числа 5n начинается числом 2n?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65854  (#3)

Тема:   [ Свойства коэффициентов многочлена ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Докажите, что любая натуральная степень многочлена  P(x) = x4 + x3 – 3x2 + x + 2  имеет хотя бы один отрицательный коэффициент.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65855  (#4)

Темы:   [ Теорема синусов ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Монотонность, ограниченность ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

На биссектрисе AA1 треугольника ABC выбрана точка X. Прямая BX пересекает сторону AC в точке B1, а прямая CX пересекает сторону AB в точке C1. Отрезки A1B1 и CC1 пересекаются в точке P, а отрезки A1C1 и BB1 пересекаются в точке Q. Докажите, что углы PAC и QAB равны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65856  (#5)

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Арифметические действия. Числовые тождества ]
[ Десятичная система счисления ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Докажите, что можно найти бесконечно много пар целых чисел так, чтобы в десятичной записи каждого числа все цифры были не меньше 7 и произведение чисел каждой пары тоже было числом, где все цифры не меньше 7.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .