Страница:
<< 1 2 3 4
5 6 7 >> [Всего задач: 46]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
а) На каждой стороне десятиугольника (не обязательно выпуклого) как на диаметре построили окружность. Может ли оказаться, что все эти окружности имеют общую точку, не совпадающую ни с одной вершиной десятиугольника?
б) Решите ту же задачу для одиннадцатиугольника.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
Дан правильный 12-угольник A1A2...A12.
Можно ли из 12 векторов 
выбрать семь, сумма которых равна нулевому вектору?
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
В каждую клетку квадрата 1000×1000 вписано число так, что в любом не выходящем за пределы квадрата прямоугольнике площади s со сторонами, проходящими по границам клеток, сумма чисел одна и та же. При каких s числа во всех клетках обязательно будут одинаковы?
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
|
В шахматном турнире было 10 участников. В каждом туре участники разбивались на пары и в каждой паре играли друг с другом одну игру. В итоге каждый участник сыграл с каждым ровно один раз, причём не меньше чем в половине всех игр участники были земляками (из одного города). Докажите, что в каждом туре хоть одна игра была между земляками.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
Взяли несколько положительных чисел и построили по ним такую последовательность: a1 – сумма исходных чисел, a2 – сумма квадратов исходных чисел, a3 – сумма кубов исходных чисел, и т.д.
а) Могло ли случиться, что до a5 последовательность убывает (a1 > a2 > a3 > a4 > a5), а начиная с a5 – возрастает (a5 < a6 < a7 < ...)?
б) А могло ли случиться наоборот: до a5 последовательность возрастает, а начиная с a5 – убывает?
Страница:
<< 1 2 3 4
5 6 7 >> [Всего задач: 46]
Фильтр
