ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 15]      



Задача 110185  (#11.2.3)

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

В коммерческом турнире по футболу участвовало пять команд. Каждая должна была сыграть с каждой из остальных ровно один матч. В связи с финансовыми трудностями организаторы некоторые игры отменили. В итоге оказалось, что все команды набрали различное число очков и ни одна команда в графе набранных очков не имеет нуля. Какое наименьшее число игр могло быть сыграно в турнире, если за победу начислялось три очка, за ничью – одно, за поражение – ноль?

Прислать комментарий     Решение

Задача 110153  (#11.3.1)

Темы:   [ Тригонометрические неравенства ]
[ Возрастание и убывание. Исследование функций ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Сумма положительных чисел a, b, c равна π/2. Докажите, что  cos a + cos b + cos c > sin a + sin b + sin c.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66004  (#11.3.2)

Темы:   [ Куб ]
[ Площадь сечения ]
[ Проектирование помогает решить задачу ]
[ Теорема о трех перпендикулярах ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Дан куб АBCDA'B'C'D' c ребром 1. На его рёбрах АВ, ВС, C'D' и D'A' отмечены точки K, L, M и N соответственно так, что KLMN – квадрат. Найдите его площадь.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66005  (#11.3.3)

Темы:   [ Сочетания и размещения ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Жили-были двадцать шпионов. Каждый из них написал донос на десять своих коллег. Докажите, что не менее, чем десять пар шпионов донесли друг на друга.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66006  (#11.4.1)

Темы:   [ Теорема Безу. Разложение на множители ]
[ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Дан многочлен  f(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx.  Известно, что каждое из уравнений  f(x) = 1  и  f(x) = 2  имеет четыре корня. Докажите, что если для корней первого уравнения выполняется равенство  x1 + x2 = x3 + x4,  то и для корней второго уравнения выполняется аналогичное равенство.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 15]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .