ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



Задача 66017  (#9.6)

Темы:   [ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Теорема синусов ]
[ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Удвоение медианы ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Обухов Б.

В остроугольном треугольнике ABC проведены медиана AM и высота BH. Перпендикуляр, восстановленный в точке M к прямой AM, пересекает луч HB в точке K. Докажите, что если  ∠MAC = 30°,  то  AK = BC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66023  (#10.6)

Темы:   [ Последовательности (прочее) ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Авторы: Богданов И.И., Кожевников П.А.

Изначально на доске записаны несколько натуральных чисел (больше одного). Затем каждую минуту на доску дописывается число, равное сумме квадратов всех уже записанных на ней чисел (так, если бы на доске изначально были записаны числа 1, 2, 2, то на первой минуте было бы дописано число  12 + 22 + 22).
Докажите, что сотое дописанное число имеет хотя бы 100 различных простых делителей.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66030  (#11.6)

Темы:   [ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Кузнецов А.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность Г c центром в точке O. Его диагонали AC и BD перпендикулярны и пересекаются в точке P, причём точка O лежит внутри треугольника BPC. На отрезке BO выбрана точка H так, что  ∠BHP = 90°.  Описанная окружность ω треугольника PHD, вторично пересекает отрезок PC в точке Q. Докажите, что  AP = CQ.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66027  (#9.7)

Темы:   [ Выпуклые многоугольники ]
[ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Индукция в геометрии ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Грибалко А.В.

Выпуклый многоугольник разрезан непересекающимися диагоналями на равнобедренные треугольники.
Докажите, что в этом многоугольнике найдутся две равные стороны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66027  (#10.7)

Темы:   [ Выпуклые многоугольники ]
[ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Индукция в геометрии ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Грибалко А.В.

Выпуклый многоугольник разрезан непересекающимися диагоналями на равнобедренные треугольники.
Докажите, что в этом многоугольнике найдутся две равные стороны.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .