ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      



Задача 66075  (#5)

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]
[ Принцип Дирихле (углы и длины) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

  Преподаватель выставил оценки по шкале от 0 до 100. В учебной части могут менять верхнюю границу шкалы на любое другое натуральное число, пересчитывая оценки пропорционально и округляя до целых. Нецелое число при округлении меняется до ближайшего целого; если дробная часть равна 0,5, направление округления учебная часть может выбирать любое, отдельно для каждой оценки. (Например, оценка 37 по шкале 100 после пересчета в шкалу 40 перейдёт в  37·40/100 = 14,8  и будет округлена до 15.)
  Студенты Петя и Вася получили оценки a и b, отличные от 0 и 100. Докажите, что учебная часть может сделать несколько пересчётов так, чтобы у Пети стала оценка b, а у Васи – оценка a (пересчитываются одновременно обе оценки).

Прислать комментарий     Решение

Задача 66119  (#5)

Темы:   [ Раскраски ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Петя раскрасил каждую клетку квадрата 1000×1000 в один из 10 цветов. Также он придумал такой 10-клеточный многоугольник Ф, что при любом способе положить его по границам клеток на раскрашенный квадрат, все 10 накрытых им клеток будут разного цвета. Обязательно ли Ф – прямоугольник?

Прислать комментарий     Решение

Задача 66121  (#5)

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

При каких натуральных n для каждого целого  k ≥ n  найдётся кратное n число с суммой цифр k?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66098  (#5)

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Таблица размером 2017×2017 заполнена ненулевыми цифрами. Среди 4034 чисел, десятичные записи которых совпадают со строками и столбцами этой таблицы, читаемыми слева направо и сверху вниз соответственно, все, кроме одного, делятся на простое число p, а оставшееся число на p не делится.
Найдите все возможные значения p.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66093  (#5)

Темы:   [ Куб ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

На гранях единичного куба отметили восемь точек, которые служат вершинами меньшего куба.
Найдите все значения, которые может принимать длина ребра этого куба.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .