ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      



Задача 66168  (#10.7)

Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ]
[ Процессы и операции ]
[ Полуинварианты ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Изначально на доске написано натуральное число N. В любой момент Миша может выбрать число  a > 1  на доске, стереть его и дописать все натуральные делители a, кроме него самого (на доске могут появляться одинаковые числа). Через некоторое время оказалось, что на доске написано N2 чисел.
При каких N это могло случиться?

Прислать комментарий     Решение

Задача 66154  (#9.8)

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
[ Раскраски ]
[ Четность и нечетность ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Антипов М.

Каждая клетка доски 100×100 окрашена либо в чёрный, либо в белый цвет, причём все клетки, примыкающие к границе доски – чёрные. Оказалось, что нигде на доске нет одноцветного клетчатого квадрата 2×2. Докажите, что на доске найдётся клетчатый квадрат 2×2, клетки которого окрашены в шахматном порядке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66161  (#10.8)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Неравнобедренный треугольник ABC вписан в окружность с центром O и описан около окружности с центром I. Точка B', симметричная точке B относительно прямой OI, лежит внутри угла ABI. Докажите, что касательные к описанной окружности треугольника BB'I, проведённые в точках B' и I, пересекаются на прямой AC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66169  (#11.8)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Углы между биссектрисами ]
[ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Прямые, касающиеся окружностей (прочее) ]
[ Метрические соотношения (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Обозначим через IA, IB, IC и ID центры вписанных окружностей ωA, ωB, ωC и ωD треугольников DAB, ABC, BCD и CDA соответственно. Оказалось, что  ∠BIAA + ∠ICIAID = 180°.  Докажите, что  ∠BIBA + ∠ICIBID = 180°.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .