ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



Задача 66268  (#10.1)

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Радикальная ось ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Прямая, параллельная стороне BC треугольника ABC, пересекает стороны AB и AC в точках P и Q соответственно. Внутри треугольника APQ взята точка M. Отрезки MB и MC пересекают отрезок PQ в точках E и F соответственно. Пусть N – вторая точка пересечения описанных окружностей ω1 и ω2 треугольников PMF и QME. Докажите, что точки A, M и N лежат на одной прямой.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66269  (#10.2)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Признаки подобия ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

В треугольнике ABC  I и Ia – центры вписанной и вневписанной окружностей, A' точка описанной окружности, диаметрально противоположная A, AA1 – высота. Докажите, что  ∠IA'Ia = ∠IA1Ia.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66270  (#10.3)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ ГМТ - прямая или отрезок ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

Даны два треугольника ABC и A'B'C', имеющие общие описанную и вписанную окружности, и точка P, лежащая внутри обоих треугольников.
Докажите, что сумма расстояний от P до сторон треугольника ABC равна сумме расстояний от P до сторон треугольника A'B'C'.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66271  (#10.4)

Темы:   [ Теория игр (прочее) ]
[ Многоугольники (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Индукция в геометрии ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Белухов Н.

Дьявол предлагает Человеку сыграть в следующую игру. Сначала Человек платит некоторую сумму s и называет 97 троек  {i, j, k},  где i, j, k – натуральные числа, не превосходящие 100. Затем Дьявол рисует выпуклый 100-угольник A1A2...A100 с площадью, равной 100, и выплачивает Человеку выигрыш, равный сумме площадей 97 треугольников AiAjAk. При каком наибольшем s Человеку выгодно согласиться?

Прислать комментарий     Решение

Задача 66272  (#10.5)

Темы:   [ Прямая призма ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Существует ли выпуклый многогранник, у которого рёбер столько же, сколько диагоналей? (Диагональю многогранника называется отрезок, соединяющий две вершины, не лежащие в одной грани.)

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .