ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 61 62 63 64 65 66 67 >> [Всего задач: 498]      



Задача 78791

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Деление с остатком ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

а) Доказать, что сумма цифр числа K не более чем в 8 раз превосходит сумму цифр числа 8K.
б) Для каких натуральных k существует такое положительное число ck, что  ck  для всех натуральных N? Найдите наибольшее подходящее значение ck.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78803

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Доказать, что сумма цифр числа N превосходит сумму цифр числа 55 . N не более чем в 5 раз.
Прислать комментарий     Решение


Задача 73675

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Процессы и операции ]
[ Обратный ход ]
[ Полуинварианты ]
[ Метод спуска ]
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

С натуральным числом (записываемым в десятичной системе) разрешено проделывать следующие операции:

А) приписать на конце цифру 4;

Б) приписать на конце цифру 0;

В) разделить на 2 (если число чётно).

Например, если с числом 4 проделаем последовательно операции В, В, А и Б, то получим число 140.

а) Из числа 4 получите число 1972.

б)* Докажите, что из числа 4 можно получить любое натуральное число.
Прислать комментарий     Решение


Задача 77898

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Показательные функции и логарифмы (прочее) ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
Сложность: 5+
Классы: 10,11

Докажите, что числа вида 2n при различных целых положительных n могут начинаться на любую наперёд заданную комбинацию цифр.
Прислать комментарий     Решение


Задача 73590

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 6+
Классы: 8,9,10,11

Все натуральные числа, в десятичной записи которых не больше n цифр, разбили на два множества следующим образом. В первое множество входят числа с нечётной суммой цифр, а во второе — c чётной суммой цифр. Докажите, что для любого натурального числа k £ n сумма k-х степеней всех чисел первого множества равна сумме k-х степеней всех чисел второго множества.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 61 62 63 64 65 66 67 >> [Всего задач: 498]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .